证明:

由Cauchy不等式得

[(b+c)+(c+a)+(a+b)][1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)]=3^2

---(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)+(a+b+c)/(a+b)=9/2

---a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=3/2.

证毕.

这是Nesbitt不等式

其加强式为

a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=3/2+[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/(a+b+c)^2

由柯西不等式得

[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)]*[a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)]=(a+b+c)^2

2(a+b+c)^2=3[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)]

2(a^2+b^2+c^2)=2(bc+ca+ab)

(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2=0