椭圆问题.

2022-10-15军事227

通径是过焦点的弦中最短的弦。

简单证明如下:

根据椭圆定义,

椭圆上任一点到焦点的距离与到准线距离的比是常数e(离心率)。

如图,

焦点F,长轴交准线于E

通径PQ=PF+QF=e(PM+QN)=2eFE

任一过焦点的弦AB,设AB中点G,GH垂直于准线,垂足E

GH为梯形ABDC中位线,

AB=AG+BG=e(AC+BD)=2eGN

FE≤GN

PQ≤AB

证毕。

补充回答

如果EF与PQ重合,则GH=FE.

如果EF不与PQ重合,则AB在PQ两侧,

不失一般性,设B在PQ左侧,则FB在PQ左侧,

A在PQ右侧。

又准线在PQ右侧,所以BNAC,

得FBFA,AB中点G在BF上,G在PQ左侧,

G到准线距离GH大于PQ与准线之间距离FE,

即FE全部

以焦点F(椭圆,双曲线为右焦点)为极点,FX为极轴的极坐标系中,圆锥曲线的统一极坐标方程是ρ=ep/(1-ecosθ),A(ρ1,θ),B(ρ2,π+θ),焦点弦长|AB|=ρ1+ρ2=2ep/(1-e^cos^θ),∵0≤cos^θ≤1,∴当θ=90°时,|AB|min=2ep,此时AB⊥极轴OX,即AB是正焦弦(通径),证毕。

说明:用直角坐标系证明烦琐,而极坐标系(见99年前解几教材)是处理焦点弦的利器。

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