通径是过焦点的弦中最短的弦。

简单证明如下：

根据椭圆定义，

椭圆上任一点到焦点的距离与到准线距离的比是常数e(离心率)。

如图，

焦点F，长轴交准线于E

通径PQ=PF+QF=e(PM+QN)=2eFE

任一过焦点的弦AB，设AB中点G，GH垂直于准线，垂足E

GH为梯形ABDC中位线，

AB=AG+BG=e(AC+BD)=2eGN

FE≤GN

PQ≤AB

证毕。

补充回答

如果EF与PQ重合，则GH=FE.

如果EF不与PQ重合，则AB在PQ两侧，

不失一般性，设B在PQ左侧，则FB在PQ左侧，

A在PQ右侧。

又准线在PQ右侧，所以BNAC，

得FBFA，AB中点G在BF上，G在PQ左侧，

G到准线距离GH大于PQ与准线之间距离FE，

即FE全部

以焦点F(椭圆，双曲线为右焦点）为极点，FX为极轴的极坐标系中，圆锥曲线的统一极坐标方程是ρ=ep/（1-ecosθ），A（ρ1,θ),B(ρ2,π+θ),焦点弦长|AB|=ρ1+ρ2=2ep/(1-e^cos^θ),∵0≤cos^θ≤1,∴当θ=90°时,|AB|min=2ep,此时AB⊥极轴OX,即AB是正焦弦(通径),证毕。

说明：用直角坐标系证明烦琐，而极坐标系（见99年前解几教材）是处理焦点弦的利器。